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ヘロンの公式

三角形の面積を求めるときに用いたヘロンの公式を紹介します。

 

 

テキスト ボックス:   図のような三角形ABCがあり、角頂点に向かい合う辺の長さをa,b,cとします。
  このとき三角形の面積Sは
  s=   とおくと
  S=  
  と表せる。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<証明>

使用する公式
・三角関数の基本公式
 sin2A+cos2A=1

・余弦定理
 a2=b2+c2-2bccosA
 b2=c2+a2-2cacosB
 c2=a2+b2-2abcosC

・三角形の面積の公式(面積をSとする)

S=

 

余弦定理の第1式より

cosA= …(1)

sin2A+cos2A=1 において、0<A<π より sinA>0

よって、

 sinA=

よって三角形の面積S

 bcsinA=

 

一方、ヘロンの公式の右辺は、

(右辺)=

        =

        =

        =

        =

以上より、ヘロンの公式で、三角形の面積が求められることが分かります。

 

 

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